กฎของ Cramer และการประยุกต์ใช้

กฎของ Cramer - เป็นหนึ่งในวิธีการที่แน่นอนสำหรับการแก้ ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (Slough) ความถูกต้องเกิดจากการใช้ปัจจัยของเมทริกซ์ระบบเช่นเดียวกับบางส่วนของข้อ จำกัด ที่กำหนดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่

ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่สำหรับตัวอย่างเช่นส่วนใหญ่ของ R - หมายเลขที่แท้จริงของราชวงศ์ x1, x2, ... , xn เป็นคอลเลกชันของการแสดงออก

Ai2 x1 + x2 + Ai2 ... Ain xn = bi กับ i = 1, 2, ... , M, (1)

ที่ AIJ, สอง - ตัวเลขจริง แต่ละของการแสดงออกเหล่านี้เรียกว่า สมการเชิงเส้น, AIJ - ค่าสัมประสิทธิ์ของราชวงศ์ที่สอง - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่เป็นอิสระ

การแก้ปัญหาของ (1) เรียกว่า n มิติเวกเตอร์ x ° = (x1 °, x2 °, ... , xn °), ที่เปลี่ยนตัวเข้าสู่ระบบสำหรับราชวงศ์ x1, x2, ... , xn แต่ละเส้นในระบบจะกลายเป็นสมการที่ดีที่สุด .

ระบบที่เรียกว่าสอดคล้องกันถ้ามันมีวิธีการแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งและไม่สอดคล้องกันถ้ามันเกิดขึ้นพร้อมกับการแก้ปัญหาของชุดเซตว่าง

มันต้องจำได้ว่าในการที่จะหาแนวทางในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการของ Cramer ระบบเมทริกซ์จะต้องมีตารางซึ่งโดยทั่วไปหมายถึงหมายเลขเดียวกันของราชวงศ์และสมการในระบบ

ดังนั้นการใช้วิธีการของ Cramer อย่างน้อยคุณจะต้องรู้ว่า สิ่งที่เมทริกซ์เป็น ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นและมันจะออก และประการที่สองที่จะเข้าใจสิ่งที่เรียกว่าปัจจัยของเมทริกซ์และทักษะของตัวเองของการคำนวณ

ให้เราคิดว่ามีความรู้นี้คุณมี ยอดเยี่ยม! แล้วคุณมีเพียงแค่จดจำสูตรการกำหนดวิธีการ Kramer เพื่อให้ง่ายต่อการท่องจำใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:

• เดชอุดม - ปัจจัยหลักของเมทริกซ์ของระบบ;

• deti - เป็นปัจจัยของเมทริกซ์ที่ได้รับจากเมทริกซ์หลักของระบบโดยการเปลี่ยนคอลัมน์ที่ i ของเมทริกซ์เพื่อเวกเตอร์คอลัมน์ซึ่งเป็นธาตุด้านขวาของสมการพีชคณิตเชิงเส้น;

• n - จำนวนของราชวงศ์และสมการในระบบ

จากนั้น Cramer กฎของการคำนวณที่ i Xi ส่วนประกอบ (i = 1 .. n) n มิติเวกเตอร์ x สามารถเขียนเป็น

Xi = deti / เดชอุดม (2)

ในกรณีนี้อย่างเคร่งครัดเดชอุดมที่แตกต่างกันจากศูนย์

เอกลักษณ์ของการแก้ปัญหาของระบบเมื่อมันมีให้ร่วมกันโดยสภาพความไม่เท่าเทียมกันของปัจจัยหลักของระบบให้เป็นศูนย์ มิฉะนั้นถ้าผลรวมของ (Xi) ยกกำลังสองบวกอย่างเคร่งครัดแล้ว SLAE ตารางเมทริกซ์เป็นไปไม่ได้ นี้สามารถเกิดขึ้นได้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งภัณฑ์ deti

ตัวอย่างที่ 1 เพื่อแก้ปัญหาระบบ LAU สามมิติโดยใช้สูตรของ Cramer
2 x1 + x2 + x3 = 31 4
5 x1 + x2 + x3 = 2 29
3 x1 - x2 + x3 = 10

การตัดสิน เราเขียนลงเมทริกซ์ของสายระบบโดยสายที่ไอ - เป็นแถวที่ i ของเมทริกซ์
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1)
คอลัมน์สัมประสิทธิ์ b ฟรี = (31 ตุลาคม 29)

ระบบหลักเป็นปัจจัยเดชอุดม
เดชอุดม = A11 A22 A33 A12 A23 + A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2-10 = -27

ในการคำนวณ det1 การเปลี่ยนแปลงโดยใช้ a11 = B1, a21 = b2, a31 = b3 แล้วก็
det1 = b1 A22 A33 + A12 A23 A31 + b3 b2 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - A33 b2 a12 = ... = -81

ในทำนองเดียวกันในการคำนวณการใช้ทดแทน det2 a12 = B1, a22 = B2, B3 = A32, และตามการคำนวณ det3 - A13 = B1, A23 = B2, B3 = A33
จากนั้นคุณสามารถตรวจสอบว่า det2 = -108 และ det3 = - 135
ตามสูตร Cramer พบ x1 = -81 / (- 27) = 3 x 2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5

คำตอบ: x = ° (3,4,5)

อาศัยการบังคับใช้กฎนี้, วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเครเมอสามารถนำมาใช้ทางอ้อมเช่นการตรวจสอบระบบอยู่กับจำนวนของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ k ที่

ตัวอย่างที่ 2 การตรวจสอบในสิ่งที่มีค่าของความไม่เท่าเทียมกันพารามิเตอร์ k | KX - Y - 4 | + | x + KY +4 | <= 0 มีอีกหนึ่งวิธีการแก้ปัญหา

การตัดสิน
ความไม่เท่าเทียมกันนี้โดยความหมายของฟังก์ชั่นโมดูลสามารถดำเนินการได้เฉพาะในกรณีที่ทั้งสองแสดงออกเป็นศูนย์พร้อมกัน ดังนั้นปัญหานี้จะลดลงไปหาวิธีการแก้ปัญหาของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

KX - การ y = 4
x + KY = -4

วิธีการแก้ปัญหาระบบนี้ แต่ถ้ามันเป็นปัจจัยหลักของ
เดชอุดม = k ^ {2} + 1 จะไม่ใช่ศูนย์ เป็นที่ชัดเจนว่าเงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจสำหรับค่าจริงทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ k

คำตอบ: สำหรับค่าจริงทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ k

วัตถุประสงค์ของประเภทนี้นอกจากนี้ยังสามารถลดปัญหาในทางปฏิบัติจำนวนมากในเขตของ คณิตศาสตร์ฟิสิกส์เคมีหรือ