ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมมีสามด้าน (สามมุม) ส่วนใหญ่มักจะเป็นส่วนหนึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษรขนาดเล็กตัวอักษรที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นตัวแทนของจุดตรงข้าม ในบทความนี้เราจะดูที่เหล่านี้ประเภทของรูปทรงเรขาคณิตทฤษฎีบทซึ่งกำหนดสิ่งที่มีค่าเท่ากับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมที่

ประเภทมุมที่ใหญ่ที่สุด

ประเภทต่อไปนี้ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามจุด:

• เฉียบพลันมุมซึ่งในทุกมุมมีความคม;
• สี่เหลี่ยมที่มีมุมขวาหนึ่งด้านการสร้างมันเรียกว่าขาและด้านข้างที่มีการจำหน่ายตรงข้ามกับมุมขวาเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก;
• ป้านเมื่อหนึ่ง มุมป้าน ;
• หน้าจั่วซึ่งทั้งสองฝ่ายมีความเสมอภาคและพวกเขาจะเรียกว่าด้านข้างและที่สาม - รูปสามเหลี่ยมที่มีฐานที่;
• สามเหลี่ยมด้านเท่ามีสามด้านเท่ากัน

สรรพคุณ

จัดสรรคุณสมบัติพื้นฐานที่มีลักษณะของแต่ละประเภทของรูปสามเหลี่ยม:

• ด้านตรงข้ามที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือมุมเสมอมากขึ้นและในทางกลับกัน;
• มีมุมเท่ากันตรงข้ามเท่ากับพรรคใหญ่และในทางกลับกัน;
• ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ มีสองมุมเฉียบพลัน;
• มุมด้านนอกมากกว่ามุมภายในใด ๆ ดังกล่าวไม่ได้อยู่ติดกัน;
• ผลรวมของสองมุมอยู่เสมอน้อยกว่า 180 องศา;
• มุมภายนอกเท่ากับผลรวมของอีกสองมุมที่ไม่ได้ mezhuyut กับเขา

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทระบุว่าถ้าคุณเพิ่มขึ้นทั่วทุกมุมของรูปทรงเรขาคณิตซึ่งตั้งอยู่ในระนาบแบบยุคลิดแล้วผลรวมของพวกเขาจะได้ 180 องศา เราลองมาพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้

ขอให้เรามีรูปสามเหลี่ยมโดยพลการที่มีจุด KMN ด้านบนสุดของ M จะถือ ขนานตรงไปยังเส้น KN (แม้เส้นนี้เรียกว่า Euclid) มันควรจะสังเกตจุด A เพื่อให้จุด K และ A จะถูกจัดเรียงจากด้านข้างที่แตกต่างกันของสายมินนิโซตา เราได้รับมุมเดียวกันของ AMS และ MUF ซึ่งเช่นการตกแต่งภายในที่อยู่ในรูปแบบขวางตัด MN ร่วมกับ CN โดยตรงและปริญญาโทซึ่งเป็นคู่ขนาน จากนี้ก็ต่อว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมตั้งอยู่ที่จุดของ M และ N ที่มีค่าเท่ากับขนาดของมุม CMA ทั้งสามมุมประกอบด้วยผลรวมเท่ากับผลรวมของมุมของ KMA และ MCS เนื่องจากข้อมูลที่มีมุมภายในญาติเส้นคู่ขนานด้าน CL และ CM แมสซาชูเซตที่ตัดผลรวมของพวกเขาคือ 180 องศา นี่เป็นข้อพิสูจน์ทฤษฎีบท

ผล

ที่กล่าวมาข้างต้นทฤษฎีบทหมายถึงข้อพิสูจน์ต่อไปนี้ทุกสามเหลี่ยมมีสองมุมเฉียบพลัน เพื่อพิสูจน์นี้ให้เราคิดว่ารูปเรขาคณิตนี้มีเพียงหนึ่งมุมแหลม นอกจากนี้คุณยังสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่มีมุมจะไม่คมชัด ในกรณีนี้จะต้องมีอย่างน้อยสองมุมขนาดของการที่จะมีค่าเท่ากับหรือมากกว่า 90 องศา แต่แล้วผลรวมของมุมที่เป็นมากกว่า 180 องศา แต่นี้ไม่สามารถเป็นไปตามมุมทฤษฎีบทผลรวมของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา - ไม่มากไม่น้อย นั่นคือสิ่งที่จะต้องมีการพิสูจน์แล้วว่า

ทรัพย์สินที่ขอบด้านนอก

ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมซึ่งเป็นภายนอกคืออะไร? คำตอบสำหรับคำถามนี้สามารถหาได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง ครั้งแรกคือการที่คุณต้องไปหาผลรวมของมุมซึ่งจะถูกนำหนึ่งในแต่ละจุดสุดยอด, ที่อยู่, สามมุม อย่างที่สองก็หมายความว่าคุณต้องไปหาผลรวมของหกมุมที่จุด เพื่อจัดการกับจุดเริ่มต้นของศูนย์รวมแรก ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมที่มีหกมุมด้านนอก - ด้านบนของแต่ละของทั้งสอง แต่ละคู่มีมุมเท่ากันระหว่างตัวเองเนื่องจากพวกเขาเป็นแนวตั้ง:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6

นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันที่มุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของทั้งสองภายในซึ่งไม่ mezhuyutsya กับเขา ดังนั้น

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S

จากนี้ก็ปรากฏว่าผลรวมของมุมภายนอกซึ่งจะถูกนำหนึ่งโดยหนึ่งใกล้กันจุดสุดยอดจะเท่ากับ:

∟1 + + ∟2∟3 = ∟A + ∟S∟A∟V + + + ∟V∟S = 2 x (+ ∟A∟V∟S +)

ได้รับความจริงที่ว่าผลรวมของมุมเท่ากับ 180 องศาก็สามารถจะแย้งว่า∟A + ∟V∟S = + 180 ° ซึ่งหมายความว่า∟1 + + ∟2∟3 = 2 x 180 ° = 360 ° ถ้าตัวเลือกที่สองคือการใช้ผลรวมของหกมุมจะคล้าย ๆ กันมากขึ้นเป็นสองเท่า คือผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านนอกจะเป็น:

∟1 + + ∟2∟3 + ∟4 + + ∟5∟6 = 2 x (+ ∟1∟2 + ∟2) = 720 °

สามเหลี่ยมมุมฉาก

อะไรคือสิ่งที่มีค่าเท่ากับผลรวมของมุมขวาของสามเหลี่ยมที่เป็นเกาะ? คำตอบคืออีกครั้งจากทฤษฏีที่ระบุว่ามุมของรูปสามเหลี่ยมที่เพิ่มขึ้นถึง 180 องศา เสียงยืนยันของเรา (ทรัพย์สิน) เป็นดังนี้: ในรูปสามเหลี่ยมมุมขวาคมชัดเพิ่มขึ้นถึง 90 องศา เราพิสูจน์ความจริงของมัน ให้มีกำหนดสามเหลี่ยม KMN ซึ่ง∟N = 90 ° มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะพิสูจน์ว่า∟K∟M = + 90 °

ดังนั้นตามทฤษฎีบทในผลรวมของมุม∟K + ∟M∟N + = 180 องศาที่ ในสภาพนี้มันก็บอกว่า∟N = 90 ° มันจะเปิดออก∟K∟M + 90 ° = 180 ° นั่นคือ∟K∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 ° นั่นคือสิ่งที่เราควรจะพิสูจน์

นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติข้างต้นของรูปสามเหลี่ยมขวาคุณสามารถเพิ่มเหล่านี้:

• มุมซึ่งอยู่กับขามีความคม;
• ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มากกว่าใด ๆ ของขา;
• ผลรวมของขามากกว่าบังเกิด;
• ขาของรูปสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุม 30 องศาครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากนั่นคือเท่ากับครึ่งหนึ่งของมัน

ในฐานะที่เป็นทรัพย์สินของรูปทรงเรขาคณิตอื่นสามารถโดดเด่นทฤษฎีบทพีทาโกรัส เธอระบุว่าในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม 90 องศา (สี่เหลี่ยม) ความเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมของขาเท่ากับตารางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ก่อนหน้านี้เรากล่าวว่าหน้าจั่วสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามจุดที่มีทั้งสองฝ่ายเท่ากัน สถานที่แห่งนี้เป็นที่รู้จักกันรูปเรขาคณิต: มุมที่ฐานของมันเท่ากัน ขอให้เราพิสูจน์เรื่องนี้

ใช้สามเหลี่ยม KMN ซึ่งเป็นหน้าจั่ว, เซาท์แคโรไลนา - ฐาน เราจะต้องพิสูจน์ให้เห็นว่า∟K = ∟N ดังนั้นให้เราคิดว่าซาชูเซตส์ - KMN เป็นเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมของเรา ICA รูปสามเหลี่ยมที่มีสัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันเป็นรูปสามเหลี่ยม MNA กล่าวคือสมมติฐานที่กำหนดว่า CM = NM, MA เป็นด้านทั่วไป∟1 = ∟2เพราะ MA - bisector นี้ การใช้ความเท่าเทียมกันของทั้งสองรูปหนึ่งได้ยืนยันว่า∟K = ∟N ดังนั้นทฤษฎีบทพิสูจน์

แต่เรามีความสนใจในสิ่งที่เป็นผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม (หน้าจั่ว) เพราะในแง่นี้มันไม่ได้มีคุณลักษณะของมันเราจะเริ่มต้นจากทฤษฎีบทที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ นั่นก็คือเราสามารถพูดได้ว่า∟K + ∟M∟N + = 180 องศาหรือ 2 x ∟K∟M + = 180 องศา (เป็น∟K = ∟N) นี้จะได้พิสูจน์คุณสมบัติเช่นทฤษฎีบทในผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ถูกพิสูจน์แล้วว่าก่อนหน้านี้

ยกเว้นคุณสมบัติการพิจารณาของมุมของรูปสามเหลี่ยมยังมีงบที่สำคัญเช่น:

• ใน ความสูงสามเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งได้รับการลดลงถึงฐานที่เป็นพร้อมกัน bisector เฉลี่ยของมุมซึ่งอยู่ระหว่างด้านข้างเท่ากันและ แกนของสมมาตร ของฐาน;
• ค่ามัธยฐาน (bisector สูง) ซึ่งจะจัดขึ้นไปที่ด้านข้างของรูปทรงเรขาคณิตที่มีค่าเท่ากัน

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

มันจะเรียกว่าขวาเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีค่าเท่ากันกับทุกฝ่าย และดังนั้นจึงยังเท่ากันและมุม แต่ละของพวกเขาคือ 60 องศา ขอให้เราพิสูจน์คุณสมบัตินี้

ให้เราคิดว่าเรามีสามเหลี่ยม KMN เรารู้ว่า KM = = HM KH ซึ่งหมายความว่าตามที่ทรัพย์สินของมุมตั้งอยู่ที่ฐานในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า∟K = = ∟M∟N เนื่องจากตามผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมทฤษฎีบท∟K + ∟M∟Nเครื่องหมาย + = 180 องศาแล้ว x 3 = 180 °∟Kหรือ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 ° ดังนั้นยืนยันจะพิสูจน์ เท่าที่เห็นจากหลักฐานดังกล่าวข้างต้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นผลรวมของมุมที่ ของสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ คือ 180 องศา อีกครั้งพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็น

ยังคงมีคุณสมบัติบางลักษณะของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า:

• ความสูงเฉลี่ย bisector ในรูปเรขาคณิตที่เหมือนกันและความยาวของพวกเขาจะถูกคำนวณเป็น (ก x √3): 2;
• ถ้ารูปหลายเหลี่ยมนี้ circumscribing วงกลมแล้วรัศมีจะเท่ากับ (ก x √3): 3;
• ถ้าถูกจารึกไว้ในวงกลมสามเหลี่ยมด้านเท่ารัศมีของมันจะเป็น (ก x √3): 6;
• พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร (a2 x √3): 4

สามเหลี่ยมป้าน

ตามคำนิยาม สามเหลี่ยมป้านมุม, มุมหนึ่งอยู่ระหว่าง 90-180 องศา แต่ได้รับความจริงที่ว่าอีกสองมุมของรูปทรงเรขาคณิตคมจึงสามารถสรุปได้ว่าพวกเขาจะไม่เกิน 90 องศา ดังนั้นผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมทฤษฎีบททำงานในการคำนวณผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมป้าน ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้อยู่บนพื้นฐานของทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นว่าผลรวมของมุมป้านของรูปสามเหลี่ยมคือ 180 องศา อีกครั้งทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์อีกครั้ง