ฟูเรียร์ ฟูริเยร์ได้อย่างรวดเร็วเปลี่ยน ฟูริเยร์ต่อเนื่องการแปลง

การเปลี่ยนแปลงฟูริเยร์ - การเปลี่ยนแปลงการเชื่อมโยงฟังก์ชั่นบางอย่างของตัวแปรจริง การดำเนินการนี้จะดำเนินการทุกครั้งที่เรารับรู้เสียงที่แตกต่าง หูผลิตอัตโนมัติ "คำนวณ" ซึ่งตอบสนองความมีสติสามารถของเราเท่านั้นหลังจากการตรวจสอบในส่วนของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ได้ยินอวัยวะในการเปลี่ยนแปลงที่มนุษย์สร้างซึ่งในเสียง (การเคลื่อนไหวสั่นธรรมดาของอนุภาคในสื่อยืดหยุ่นซึ่งเผยแพร่ในรูปแบบคลื่นในของแข็งของเหลวหรือก๊าซกลาง) จะอยู่ในช่วงของค่าติดต่อกันของระดับเสียงของเสียงของความสูงที่แตกต่างกันได้ หลังจากนี้สมองจะเปลี่ยนข้อมูลในทุกเสียงที่คุ้นเคย

คณิตศาสตร์ฟูเรียร์

แปลงคลื่นเสียงการสั่นสะเทือนหรือกระบวนการอื่น ๆ (โดยปล่อยแสงและมหาสมุทรน้ำและรอบตัวเอกหรือแสงอาทิตย์) สามารถดำเนินการและโดยวิธีการของวิธีการทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นการใช้เทคนิคเหล่านี้ฟังก์ชั่นสามารถขยายได้โดยการแนะนำกระบวนการสั่นชุดของส่วนประกอบไซน์โค้งนั่นคือคลื่นที่ไปจากต่ำสุดไปสูงสุดและจากนั้นอีกครั้งให้น้อยที่สุดเหมือนคลื่นในทะเล การเปลี่ยนแปลงฟูริเยร์ - ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงซึ่งจะอธิบายขั้นตอนหรือความกว้างของแต่ละ sinusoid สอดคล้องกับความถี่โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขั้นตอนที่เป็นจุดเริ่มต้นของเส้นโค้งและความกว้าง - ความสูงของมัน

ฟูเรียร์ (ตัวอย่างที่แสดงในภาพ) เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากซึ่งถูกนำมาใช้ในด้านต่างๆของวิทยาศาสตร์ ในบางกรณีมันถูกใช้เป็นวิธีการแก้ปัญหาสมการที่ซับซ้อนมากกว่าที่อธิบายกระบวนการแบบไดนามิกที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแสงความร้อนหรือพลังงานไฟฟ้า ในกรณีอื่น ๆ ก็ช่วยให้คุณกำหนดส่วนประกอบปกติในรูปคลื่นที่ซับซ้อนเนื่องจากนี้สามารถเป็นจริงในการตีความการสังเกตการทดลองต่าง ๆ ในวิชาเคมี, ยาและดาราศาสตร์

ข้อมูลทางประวัติศาสตร์

คนแรกที่จะใช้วิธีการนี้เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสจานบาติสต์ฟวร์ แปลงต่อมาชื่อหลังจากเขาถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายกลไกการนำความร้อน ฟูริเยร์ชีวิตในวัยผู้ใหญ่ของเขาทั้งส่วนร่วมในการศึกษาคุณสมบัติของความร้อน เขาทำผลงานได้อย่างมากที่จะทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของความมุ่งมั่นของรากของสมการพีชคณิตที่ ฟูริเยร์เป็นอาจารย์ของการวิเคราะห์ที่École Polytechnique เลขานุการของสถาบันอิยิปต์ที่เป็นบริการจักรวรรดิซึ่งก่อให้เกิดความปั่นป่วนในช่วงเวลาของการก่อสร้างถนนเพื่อตูริน (ภายใต้การนำของเขาได้ถูกระบายออกกว่า 80,000 ตารางกิโลเมตรของหนองน้ำไข้ป่า) แต่ทุกการเคลื่อนไหวนี้ไม่ได้หยุดนักวิทยาศาสตร์มีส่วนร่วมในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ใน 1802 มันได้มาสมการที่อธิบายถึงการขยายพันธุ์ของความร้อนในของแข็ง ๆ ใน 1807 นักวิทยาศาสตร์ค้นพบวิธีการแก้สมการนี้ซึ่งกลายเป็นที่รู้จักในฐานะ "ฟูเรียร์"

การวิเคราะห์การนำความร้อน

นักวิจัยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายกลไกการนำความร้อน ตัวอย่างที่สะดวกในประเด็นความยากลำบากในการคำนวณไม่มีการแพร่กระจายของพลังงานความร้อนโดยแหวนเหล็กส่วนหนึ่งแช่อยู่ในกองไฟ เพื่อดำเนินการทดลองฟูริเยร์ส่วนสีแดงร้อนของแหวนและฝังเขาในทราย หลังจากนั้นเป็นต้นมาวัดอุณหภูมิดำเนินการในส่วนที่ตรงข้ามนั้น ในขั้นต้นการกระจายความร้อนผิดปกติ: ส่วนหนึ่งของแหวน - เย็นและอื่น ๆ - ร้อนระหว่างโซนสามารถสังเกตอุณหภูมิลาดคม อย่างไรก็ตามในระหว่างการกระจายความร้อนบนพื้นผิวโลหะมันจะกลายเป็นสม่ำเสมอมากขึ้น ดังนั้นในเร็ว ๆ นี้ขั้นตอนนี้จะใช้รูปแบบของคลื่นไซน์ กราฟแรกค่อยๆเพิ่มขึ้นและยังลดได้อย่างราบรื่นได้อย่างถูกต้องตามกฎหมายของการเปลี่ยนแปลงของโคไซน์หรือฟังก์ชั่นไซน์ คลื่นค่อยๆเสมอภาคและเป็นผลให้อุณหภูมิจะกลายเป็นเครื่องแบบบนพื้นผิวทั้งหมดของแหวน

ผู้เขียนของวิธีการนี้สันนิษฐานว่าการกระจายเริ่มต้นที่ผิดปกติค่อนข้างสามารถย่อยสลายเป็นจำนวนของคลื่นไซน์ประถมศึกษา แต่ละคนจะมีขั้นตอนของมัน (ตำแหน่งเริ่มต้น) และอุณหภูมิสูงสุด ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงแต่ละองค์ประกอบดังกล่าวจากต่ำสุดไปสูงสุดและย้อนกลับเพื่อให้การปฏิวัติรอบครั้งแหวนจำนวนเต็ม ตัวแทนที่มีระยะเวลาซึ่งถูกเรียกว่าฮาร์โมนิพื้นฐานและความคุ้มค่าที่มีสองคนหรือมากกว่างวด - สองและอื่น ๆ ยกตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายถึงอุณหภูมิสูงสุดเฟสหรือตำแหน่งที่เรียกว่าฟูเรียร์ของฟังก์ชั่นการจัดจำหน่าย นักวิทยาศาสตร์นำส่วนหนึ่งที่เป็นเรื่องยากที่จะอธิบายทางคณิตศาสตร์สำหรับเครื่องมือที่ง่ายต่อการใช้งาน - แถวของไซน์และโคไซน์ในจำนวนของการให้การกระจายเริ่มต้น

สาระสำคัญของการวิเคราะห์

การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์นี้เพื่อแปลงของการกระจายความร้อนบนวัตถุที่เป็นของแข็งที่มีรูปร่างเป็นรูปวงแหวน, นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลว่าระยะเวลาที่เพิ่มขึ้นของส่วนประกอบซายน์นำไปสู่การทำให้หมาด ๆ อย่างรวดเร็ว นี้จะเห็นได้อย่างชัดเจนในเสียงดนตรีหลักและครั้งที่สอง อุณหภูมิสุดท้ายถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดครั้งที่สองในบัตรเดียวและในครั้งแรก - เพียงครั้งเดียว แต่กลับกลายเป็นว่าระยะทางที่เดินทางด้วยความร้อนในฮาร์โมนิที่สองคือครึ่งหนึ่งของหลัก นอกจากนี้การไล่ระดับสีของครึ่งหลังก็จะสูงชันกว่าครั้งแรก ดังนั้นตั้งแต่การไหลของความร้อนที่รุนแรงมากขึ้นผ่านม่ายระยะทางน้อยที่สุดแล้วนี้จะได้รับการชุบฮาร์โมนิสี่ครั้งเร็วกว่าหลักเป็นหน้าที่ของเวลา ในขั้นตอนต่อไปจะได้เร็วยิ่งขึ้น คณิตศาสตร์เชื่อว่าวิธีนี้จะช่วยให้เราสามารถคำนวณกระบวนการของการกระจายเริ่มต้นของอุณหภูมิกับเวลา

โคตรโทร

ขั้นตอนวิธีการแปลงฟูเรียได้กลายเป็นความท้าทายที่จะทฤษฎีฐานรากของคณิตศาสตร์ในเวลานั้น ในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้านักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นมากที่สุดรวมทั้ง Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre และ Biot ไม่ยอมรับเขายืนยันว่าอุณหภูมิของการกระจายเริ่มต้นจะถูกย่อยสลายเป็นส่วนประกอบในรูปแบบของคลื่นพื้นฐานและความถี่ที่สูงขึ้น อย่างไรก็ตาม Academy of Sciences ไม่สามารถละเว้นผลที่ได้รับคณิตศาสตร์และเขาได้รับรางวัลสำหรับทฤษฎีการนำความร้อนของกฎหมายเช่นเดียวกับการดำเนินการเปรียบเทียบกับการทดลองทางกายภาพ ในวิธีการฟูริเยร์คัดค้านหลักคือความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นต่อเนื่องเป็นตัวแทนจากผลรวมของฟังก์ชั่นไซน์หลายอย่างซึ่งมีอย่างต่อเนื่อง หลังจากพวกเขาอธิบายระเบิดตรงและเส้นโค้ง นักวิทยาศาสตร์ที่ร่วมสมัยไม่เคยพบสถานการณ์ดังกล่าวเมื่อมีการทำงานไม่ต่อเนื่องอธิบายโดยการรวมกันของอย่างต่อเนื่องเช่นสมการเชิงเส้นไซน์หรือเข้าร่วมงาน ในกรณีที่นักคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องในการยืนยันของผลรวมของชุดอนันต์ของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติควรจะ จำกัด ความเร็วที่แน่นอน ในขณะที่เรียกร้องดังกล่าวดูเหมือนไร้สาระ อย่างไรก็ตามแม้จะมีข้อสงสัยของนักวิจัยบางคน (เช่น Claude เนเวีย, Sofi Zhermen) เดอะขยายขอบเขตของการวิจัยและนำพวกเขาออกจากการวิเคราะห์ของการกระจายความร้อน คณิตศาสตร์ในขณะเดียวกันยังคงต้องทนทุกข์ทรมานกับคำถามที่ว่าผลรวมของฟังก์ชันไซน์หลายจะลดลงไปเป็นตัวแทนที่แท้จริงของการระเบิด

ประวัติศาสตร์ 200 ปี

ทฤษฎีนี้ได้พัฒนากว่าสองศตวรรษในวันนี้มันจะเกิดขึ้นในที่สุด ด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชั่นเชิงพื้นที่หรือชั่วจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนประกอบซายน์ที่มีความถี่เฟสและความกว้าง แปลงนี้จะได้รับโดยสองวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน ครั้งแรกของพวกเขาถูกนำมาใช้ในกรณีที่เมื่อมาเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องและที่สอง - ในกรณีที่เป็นตัวแทนจากส่วนใหญ่ของการเปลี่ยนแปลงแต่ละสิ้นเชิง หากการแสดงออกจะได้รับจากค่าซึ่งจะมีการกำหนดในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องก็สามารถแบ่งออกเป็นหลายต่อเนื่องความถี่แสดงออกซายน์ - จากต่ำสุดแล้วสองเท่าสามเท่าและอื่น ๆ ดังกล่าวข้างต้นพื้นฐาน เงินจำนวนนี้จะเรียกว่า ชุดฟูริเยร์ หากการแสดงออกเริ่มต้นตั้งค่าของแต่ละจำนวนจริงก็สามารถถูกทำลายลงไปหลายไซน์ความถี่เป็นไปได้ทั้งหมด มันถูกเรียกว่าฟูริเยร์หนึ่งและการตัดสินใจที่แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชั่นหนึ่ง โดยไม่คำนึงถึงวิธีการในการได้รับการเปลี่ยนแปลงสำหรับแต่ละความถี่ควรจะระบุตัวเลขสอง: ความกว้างและความถี่ ค่าเหล่านี้จะแสดงความเป็นหนึ่งเดียว จำนวนเชิงซ้อน การแสดงออกที่ซับซ้อนทฤษฎีตัวแปรร่วมกันกับการเปลี่ยนแปลงฟูริเยร์การดำเนินการคำนวณได้รับอนุญาตการออกแบบของวงจรไฟฟ้าต่าง ๆ การวิเคราะห์การสั่นสะเทือนของเครื่องจักรกลการศึกษากลไกการบริหารจัดการคลื่นและอื่น

ฟูเรียร์ในวันนี้

ปัจจุบันการศึกษาของกระบวนการนี้พื้นเดือดลงไปหาวิธีการที่มีประสิทธิภาพสำหรับการเปลี่ยนแปลงจากฟังก์ชั่นที่จะแปลงกลับเป็นใจ การแก้ปัญหานี้จะเรียกว่าฟูริเยร์โดยตรงและผกผันเปลี่ยน มันหมายความว่าอะไร? เพื่อที่จะ ตรวจสอบหนึ่ง และทำให้ฟูริเยร์โดยตรงเปลี่ยนคุณสามารถใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ แต่คุณสามารถวิเคราะห์ แม้จะมีความจริงที่ว่าเมื่อพวกเขาถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติมีปัญหาบางอย่างปริพันธ์ส่วนใหญ่ได้รับการค้นพบและเข้าไปอยู่ในคู่มือคณิตศาสตร์ กับการแสดงออกความช่วยเหลือของวิธีการเชิงตัวเลขสามารถคำนวณรูปทรงของที่อยู่บนพื้นฐานของข้อมูลการทดลองฟังก์ชั่นที่มีปริพันธ์ในตารางจะหายไปและพวกเขาจะยากที่จะจินตนาการในรูปแบบการวิเคราะห์

ก่อนการถือกำเนิดของการคำนวณทางวิศวกรรมคอมพิวเตอร์แปลงดังกล่าวได้รับน่าเบื่อมากพวกเขาจำเป็นต้องมีการดำเนินการด้วยตนเองของจำนวนมากของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ขึ้นอยู่กับจำนวนของจุดที่อธิบายฟังก์ชันคลื่น เพื่ออำนวยความสะดวกการตั้งถิ่นฐานในวันนี้มีโปรแกรมพิเศษได้รับอนุญาตให้ดำเนินการใหม่ วิธีการวิเคราะห์ ดังนั้นในปี 1965 Dzheyms Kuli และ Dzhon Tyuki สร้างซอฟต์แวร์ที่กลายเป็นที่รู้จักในฐานะ "ฟูริเยร์ได้อย่างรวดเร็วแปลง" จะช่วยประหยัดเวลาของการคำนวณโดยการลดจำนวนคูณในการวิเคราะห์ของเส้นโค้ง "ฟูริเยร์ได้อย่างรวดเร็วเปลี่ยน" วิธีการจะขึ้นอยู่กับการแบ่งเส้นโค้งเป็นจำนวนมากของค่าตัวอย่างสม่ำเสมอ ดังนั้นจำนวนของคูณจะลดลงครึ่งหนึ่งในเวลาเดียวกันการลดจำนวนของจุด

ใช้ฟูเรียร์

กระบวนการนี้จะถูกนำมาใช้ในด้านต่างๆ: ใน ทฤษฎีจำนวน ฟิสิกส์ประมวลผลสัญญาณ combinatorics ทฤษฎีความน่าจะวิทยาการสถิติสมุทรศาสตร์, เลนส์, อะคูสติกและรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ความเป็นไปได้ที่อุดมไปด้วยสำหรับการใช้งานจะขึ้นอยู่กับจำนวนของคุณสมบัติที่มีประโยชน์ซึ่งจะเรียกว่า "คุณสมบัติของการแปลงฟูริเยร์." ให้เราตรวจสอบพวกเขา

1. ฟังก์ชั่นการแปลงเป็นผู้ประกอบการเชิงเส้นและการฟื้นฟูที่สอดคล้องกันคือรวมกัน สถานที่แห่งนี้เป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบท Parseval หรือในกรณีทั่วไปทฤษฎีบท Plansherelja หรือ Pontrjagin คู่

2. การแปลงสามารถย้อนกลับได้ นอกจากนี้ยังมีผลตรงข้ามเป็นรูปทรงที่คล้ายกันอย่างมากในขณะที่อยู่โดยตรง

3. การแสดงออกขั้นพื้นฐานซายน์ที่มีฟังก์ชั่นที่แตกต่างของตัวเอง ซึ่งหมายความว่าการแสดงดังกล่าวมีการเปลี่ยนแปลง สมการเชิงเส้น ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ในพีชคณิตธรรมดา

4. ตามที่ "บิด" ทฤษฎีบทกระบวนการที่ทำให้การดำเนินการที่ซับซ้อนในการคูณประถมศึกษา

5. ไม่ต่อเนื่องแปลงฟูเรียสามารถออกแบบได้อย่างรวดเร็วบนเครื่องคอมพิวเตอร์โดยใช้วิธีการ "เร็ว"

รูปแบบของฟูริเยร์แปลง

1. ส่วนใหญ่มักจะเป็นคำที่ใช้เรียกการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องให้การแสดงออกใด ๆ integrable quadratically เป็นผลรวมของการแสดงออกชี้แจงที่ซับซ้อนที่มีความถี่เชิงมุมที่เฉพาะเจาะจงและช่วงกว้างของคลื่น สายพันธุ์นี้มีรูปแบบที่แตกต่างกันซึ่งอาจจะเป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ที่แตกต่างกัน วิธีการอย่างต่อเนื่องรวมถึงตารางการแปลงซึ่งสามารถพบได้ในคู่มือคณิตศาสตร์ กรณีทั่วไปคือการแปลงเศษส่วนโดยกระบวนการนี้สามารถจะยกอำนาจที่แท้จริงที่ต้องการ

2. วิธีการอย่างต่อเนื่องเป็นลักษณะทั่วไปของเทคนิคก่อนหน้านี้ของซีรีส์ฟูริเยร์ที่กำหนดไว้สำหรับการใด ๆ การทำงานระยะ หรือสำนวนซึ่งอยู่ในพื้นที่ที่ จำกัด และตัวแทนของพวกเขาเป็นชุดของไซน์

3. ไม่ต่อเนื่องฟูเรียร์ วิธีนี้จะใช้ในการคำนวณการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และการประมวลผลสัญญาณดิจิตอล เพื่อดำเนินการประเภทของการคำนวณนี้จะต้องมีฟังก์ชั่นของการกำหนดในชุดที่ไม่ต่อเนื่องของจุดแต่ละธาตุหรือภูมิภาค จำกัด แทนปริพันธ์ฟูริเยร์อย่างต่อเนื่อง การแปลงสัญญาณในกรณีนี้จะแสดงเป็นผลรวมของไซน์ การใช้วิธีการ "เร็ว" ช่วยให้การใช้โซลูชั่นดิจิตอลสำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติทั้งหมด

4. หน้าต่างฟูเรียร์เป็นมุมมองทั่วไปของวิธีคลาสสิก แตกต่างจากโซลูชั่นมาตรฐานเมื่อคลื่นความถี่สัญญาณจะถูกนำมาใช้ซึ่งจะดำเนินการในช่วงที่เต็มรูปแบบของการดำรงอยู่ของตัวแปรนี้เป็นที่น่าสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่เป็นเพียงการแจกแจงความถี่ท้องถิ่นในขณะที่รักษาตัวแปรเดิม (เวลา)

5. ฟูริเยร์สองมิติเปลี่ยน วิธีนี้จะใช้ในการทำงานกับอาร์เรย์สองมิติของข้อมูล ในกรณีเช่นนี้การแปลงจะดำเนินการในทิศทางเดียวและจากนั้น - ในอื่น ๆ

ข้อสรุป

วันนี้วิธีฟูริเยร์เป็นที่ยึดมั่นในด้านต่างๆของวิทยาศาสตร์ ยกตัวอย่างเช่นในปี 1962 มันเปิดรูปร่างของเกลียวคู่ดีเอ็นเอโดยใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์ร่วมกับ X-ray การเลี้ยวเบน ผลึกล่าสุดที่มุ่งเน้นเส้นใยดีเอ็นเอส่งผลในภาพที่จะได้รับโดยการเลี้ยวเบนที่บันทึกไว้บนแผ่นฟิล์ม ภาพนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณค่าของความกว้างโดยใช้การแปลงฟูริเยโครงสร้างผลึกนี้ ข้อมูลเฟสได้โดยการเปรียบเทียบการ์ดเลนส์ดีเอ็นเอกับบัตรที่ได้รับในการวิเคราะห์โครงสร้างทางเคมีคล้ายกัน เป็นผลให้นักชีววิทยาการบูรณะโครงสร้างผลึก - ฟังก์ชั่นเดิม

ฟูเรียร์มีบทบาทอย่างมากในการศึกษานอกพื้นที่ฟิสิกส์ของวัสดุเซมิคอนดักเตอร์และพลาสม่าอะคูสติกเครื่องไมโครเวฟ, สมุทรศาสตร์เรดาร์ seismology และการสอบทางการแพทย์