การสร้าง, การศึกษาระดับมัธยมและโรงเรียน
สมการของเครื่องบิน: วิธีการทำ? ประเภทสมเครื่องบิน
พื้นที่เครื่องบินสามารถกำหนดในรูปแบบที่แตกต่างกัน (จุดหนึ่งจุดและเวกเตอร์เวกเตอร์และจุดสองจุดสามจุดอื่น ๆ ) มันขึ้นอยู่กับในใจสมเครื่องบินสามารถมีประเภทที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ภายใต้เงื่อนไขบางอย่างอาจจะเป็นเครื่องบินขนานตั้งฉากตัด ฯลฯ เกี่ยวกับเรื่องนี้และจะพูดคุยในบทความนี้ เราจะได้เรียนรู้ที่จะทำให้สมการทั่วไปของเครื่องบินและไม่เพียง แต่
รูปแบบปกติของสมการ
สมมติว่า R คือพื้นที่ 3 ซึ่งมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าระบบพิกัด XYZ เรากำหนดαเวกเตอร์ซึ่งจะถูกปล่อยออกมาจากจุดเริ่มต้นทุมผ่านปลายαเวกเตอร์วาดเครื่องบิน P ซึ่งเป็นแนวตั้งฉากกับมัน
แสดงว่า P ที่พลจุด Q = (x, y, z) รัศมีเวกเตอร์ของจุด Q ตัวอักษรป้ายพี ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับ P α = IαIและʋ = (cosα, cosβ, cosγ)
นี้เวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งเป็นผู้กำกับในทิศทางที่เป็นαเวกเตอร์ α, βและγ - มีมุมที่เกิดขึ้นระหว่างเวกเตอร์และทิศทางบวกʋแกนพื้นที่ x, y, z ตามลำดับ ประมาณการจุดบนเวกเตอร์QεPʋเป็นค่าคงที่ซึ่งเท่ากับ P (P, ʋ) = P (r≥0)
สมการข้างต้นมีความหมายเมื่อ p = 0 เครื่องบิน n เฉพาะในกรณีนี้จะข้ามจุด O (α = 0) ซึ่งเป็นแหล่งกำเนิดและเวกเตอร์หน่วยʋปล่อยจากจุด O จะตั้งฉากกับ P แม้ว่าทิศทางซึ่งหมายความว่าʋเวกเตอร์ที่กำหนด ขึ้นอยู่กับการเข้าสู่ระบบ สมการก่อนหน้านี้เครื่องบิน P ของเราแสดงในรูปแบบเวกเตอร์ แต่ในมุมมองของพิกัดของมันคือ:
P มากกว่าหรือเท่ากับ 0 เราพบสมเครื่องบินในรูปแบบปกติ
สมการทั่วไป
ถ้าสมการในพิกัดที่คูณด้วยจำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์เราได้รับเทียบเท่าสมการนี้ที่กำหนดเครื่องบินมาก มันจะมีรูปแบบต่อไปนี้:
นี่, A, B, C - คือจำนวนของพร้อมกันแตกต่างจากศูนย์ สมการนี้เรียกว่าสมการของรูปแบบทั่วไปของเครื่องบิน
สมการของเครื่องบิน กรณีพิเศษ
สมการโดยทั่วไปจะสามารถปรับเปลี่ยนโดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติม พิจารณาบางส่วนของพวกเขา
สมมติว่าค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0. นี้บ่งชี้ว่าขนานเครื่องบินฉลูแกนที่กำหนดไว้ ในกรณีนี้รูปแบบของสมการเปลี่ยนแปลง: วู + Cz + D = 0
ในทำนองเดียวกันรูปแบบของสมการและจะแตกต่างกันไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ประการแรกถ้า B = 0 สมการเปลี่ยนแปลงที่จะขวาน + Cz + D = 0 ซึ่งจะบ่งบอกถึงขนานกับแกน Oy
- ประการที่สองหาก C = 0 สมการจะเปลี่ยนเป็นขวาน + โดย + D = 0 นั่นคือจะพูดเกี่ยวกับขนานกับแกนที่กำหนดไว้ออนซ์
- สามถ้า D = 0 สมการจะปรากฏเป็นขวาน + โดย + Cz = 0 ซึ่งจะหมายถึงว่าเครื่องบินปริภูมิ O (กำเนิด)
- ประการที่สี่ถ้า A = B = 0 สมการเปลี่ยนแปลงที่จะ Cz + D = 0 ซึ่งจะพิสูจน์ให้ขนาน Oxy
- ประการที่ห้าถ้า B = C = 0 สมการจะกลายเป็นขวาน + D = 0 ซึ่งหมายความว่าเครื่องบินขนานกับ Oyz
- Sixthly ถ้า A = C = 0 สมการจะใช้รูปแบบวู + D = 0 นั่นคือจะรายงานไปยังขนาน Oxz
รูปแบบของสมการในกลุ่ม
ในกรณีที่หมายเลข A, B, C, D แตกต่างจากศูนย์รูปแบบของสมการที่ (0) อาจจะเป็นดังนี้
x / a + Y / b + z / c = 1
ขัดแย้ง = -D / A, B = -D / B, C = -D / ซี
เราได้รับเป็นสมการผลของเครื่องบินชิ้น มันควรจะตั้งข้อสังเกตว่าเครื่องบินลำนี้จะตัดแกน x ที่จุดพิกัด (มี 0,0) Oy - (0, ข, 0) และ Oz - (0,0, s)
ได้รับสมการ x / a + Y / b + z / c = 1 ก็ไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะเห็นภาพเครื่องบินตำแหน่งเทียบกับระบบพิกัดที่กำหนดไว้
พิกัดของเวกเตอร์ปกติ
เวกเตอร์ n ปกติกับระนาบ P มีพิกัดที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปของเครื่องบินเช่น n (A, B, C)
เพื่อตรวจสอบพิกัดของ n ปกติมันจะเพียงพอที่จะรู้ว่าเครื่องบินสมการทั่วไปของ
เมื่อใช้สมการในส่วนที่มีรูปแบบ x / a + Y / b + z / c = 1 เช่นเมื่อใช้สมการทั่วไปสามารถเขียนได้พิกัดของเวกเตอร์ปกติใด ๆ เครื่องบินที่กำหนด (1 / a + 1 / B + 1 / c)
มันควรจะตั้งข้อสังเกตว่าเวกเตอร์ปกติของการให้ความช่วยเหลือในการแก้ปัญหาต่างๆ ปัญหาที่พบส่วนใหญ่จะประกอบด้วยเครื่องบินตั้งฉากหรือขนานหลักฐานงานในการหามุมระหว่างระนาบหรือมุมระหว่างระนาบและเส้นตรงที่
พิมพ์ตามสมเครื่องบินและพิกัดของเวกเตอร์ปกติจุด
A N เวกเตอร์ภัณฑ์ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดเรียกว่าปกติ (ปกติ) กับเครื่องบินที่กำหนดไว้
สมมติว่าในพื้นที่ประสานงาน (เป็นระบบพิกัด) Oxyz ตั้ง:
- จุดMₒมีพิกัด (hₒ, uₒ, zₒ);
- ศูนย์เวกเตอร์ n = A * i + B * J + C * k
คุณต้องทำให้สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดMₒตั้งฉากกับ n ปกติ
ในพื้นที่ที่เราเลือกจุดโดยพลการใด ๆ และแสดง M (x, y, z) ให้เวกเตอร์รัศมีของแต่ละจุด M (x, y, z) จะ r = x * I + Y * J + Z * k และเวกเตอร์รัศมีของMₒจุด (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * J + zₒ * k จุด M จะเป็นเครื่องบินที่ระบุหากMₒMเวกเตอร์จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ n เราเขียนเงื่อนไขของการตั้งฉากโดยใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์:
[MₒM, n] = 0
ตั้งแต่MₒM = R-rₒสมเวกเตอร์ของเครื่องบินจะมีลักษณะเช่นนี้
[R - rₒ, n] = 0
สมการนี้ยังสามารถมีรูปร่างที่อื่น เพื่อจุดประสงค์นี้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์และแปลงด้านซ้ายของสมการ [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n] หาก [rₒ, n] แสดงเป็นของเราได้รับสมการต่อไปนี้: [r, n] - A = 0 หรือ [r, n] = s ซึ่งเป็นการแสดงออกถึงความมั่นคงของการคาดการณ์เกี่ยวกับเวกเตอร์ปกติของรัศมีเวกเตอร์ของจุดที่กำหนดที่อยู่ในเครื่องบิน
ตอนนี้คุณจะได้รับเครื่องบินประสานงานการบันทึกชนิดสมเวกเตอร์ของเรา [r - rₒ, n] = 0. ตั้งแต่ R-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * J + (Z-zₒ) * k และ n = A * i + B * J + C k * เรามี:
แต่กลับกลายเป็นว่าเรามีสมการที่จะเกิดขึ้นเครื่องบินผ่านจุดตั้งฉากกับ n ปกติ:
A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0
พิมพ์ตามสมเครื่องบินและพิกัดของจุดสองจุดของ collinear เครื่องบินเวกเตอร์
เรากำหนด M '(x', y 'Z') และเอ็ม "(x", y" Z ") สองจุดโดยพลการเช่นเดียวกับเวกเตอร์ (ก' เป็น" เป็น‴)
ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเครื่องบินที่ผ่านจุดที่มีอยู่ M และ M" และจุดที่มีพิกัด M (x, y, z) ขนานแต่ละเวกเตอร์ให้
ดังนั้น M'M เวกเตอร์ x = {x 'y-Y'; ZZ '} และเอ็ม "M = {x" -x', y 'Y'; Z "-z '} ควรจะเป็นระนาบเดียวกันกับเวกเตอร์ A = (ก' เป็น "เป็น‴) ซึ่งหมายความว่า (M'M เอ็ม" เอ็มเอ) = 0
ดังนั้นสมการของเครื่องบินในพื้นที่ของเราจะมีลักษณะเช่นนี้
ประเภทของสมเครื่องบินข้ามสามจุด
สมมติว่าเรามีสามจุด: (x 'y' Z '), (x', y 'Z'), (x ‴มี‴ซี‴) ซึ่งไม่ได้อยู่ในบรรทัดเดียวกัน มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะเขียนสมการของการส่งผ่านเครื่องบินผ่านสามจุดที่กำหนด ทฤษฎีเรขาคณิตระบุว่าชนิดของเครื่องบินลำนี้ไม่อยู่ก็เพียงหนึ่งเดียว ตั้งแต่เครื่องบินลำนี้ปริภูมิจุด (x 'y' Z ') รูปแบบสมการของมันจะเป็น:
นี่, A, B และ C มีความแตกต่างจากศูนย์ในเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ยังได้รับเครื่องบินปริภูมิสองจุดมากขึ้น (x "y" Z ") และ (x ‴, y ‴ซี‴) ในการเชื่อมต่อนี้ควรจะดำเนินการชนิดของเงื่อนไขนี้:
ตอนนี้เราสามารถสร้างระบบชุด ของสมการ (เชิงเส้น) กับราชวงศ์ U, v, w:
ในกรณีของเรา x, y หรือ Z ยืนจุดโดยพลการที่น่าพอใจสมการ (1) พิจารณาสมการ (1) และระบบการทำงานของสม (2) และ (3) ระบบสมการแสดงในรูปข้างต้นเวกเตอร์น่าพอใจ N (A, B, C) ซึ่งเป็นขี้ปะติ๋ว มันเป็นเพราะปัจจัยของระบบเป็นศูนย์
สมการ (1) ที่เรามีนี้เป็นสมการของเครื่องบิน 3 จุดจริง ๆ แล้วเธอไปและมันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบ การทำเช่นนี้เราขยายปัจจัยโดยองค์ประกอบในแถวแรก ของคุณสมบัติที่มีอยู่ปัจจัยดังต่อไปนี้ว่าเครื่องบินของเราไปพร้อม ๆ กันปริภูมิสามจุดที่กำหนดไว้เดิม (x 'y' Z '), (x "y" Z "), (x ‴, y ‴ซี‴) ดังนั้นเราจึงตัดสินใจที่จะงานในหน้าของเรา
มุม Dihedral ระหว่างเครื่องบิน
มุม Dihedral เป็นรูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ที่เกิดขึ้นจากสองระนาบครึ่งที่ออกมาจากเส้นตรง ในคำอื่น ๆ ส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูก จำกัด ไว้ที่ครึ่งเครื่องบิน
สมมติว่าเรามีสองเครื่องบินกับสมการต่อไปนี้:
เรารู้ว่าเวกเตอร์ N = (A, B, C) และN¹ = (เน, H¹, S¹) ตามที่กำหนดไว้ระนาบตั้งฉาก ในเรื่องนี้มุมφระหว่างเวกเตอร์ n และN¹มุมเท่ากับ (ไดฮีดรั) ซึ่งตั้งอยู่ระหว่างเครื่องบินเหล่านี้ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะได้รับโดย:
NN¹ = | N || N¹ | cos φ,
แม่นยำเพราะ
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹SS¹ +) / ((√ (รฒร + + s²V²)) * (√ (เน) ² + (H¹) ² + (S¹) ²))
มันก็เพียงพอที่จะต้องพิจารณาว่า0≤φ≤π
ที่จริงสองระนาบที่ตัดแบบสองมุม (ไดฮีดรั): φφที่ 1 และ 2 ผลรวมของพวกเขาจะมีค่าเท่ากับเธ (1 + φφ 2 = π) สำหรับความผาสุกของพวกเขาค่าสัมบูรณ์ของพวกเขามีค่าเท่ากัน แต่พวกเขาเป็นสัญญาณที่แตกต่างกัน, ที่อยู่, cos φ 1 = -cos φ 2 หากในสมการที่ (0) จะถูกแทนที่ด้วย A, B และ C ของ -A, -B และ -C ตามลำดับสมการที่เราได้รับจะเป็นตัวกำหนดระนาบเดียวกันมุมเท่านั้นφในสม cos φ = NN 1 / | N || N 1 | มันจะถูกแทนที่ด้วยπ-φ
สมการของระนาบตั้งฉาก
เรียกว่าระนาบตั้งฉากระหว่างที่มุม 90 องศา โดยใช้วัสดุที่นำเสนอข้างต้นเราสามารถหาสมการของเครื่องบินตั้งฉากกับคนอื่น ๆ สมมติว่าเรามีสองระนาบ: Ax + By + Cz + D = 0 และ + A¹hV¹uS¹z + + D = 0 เราสามารถพูดได้ว่าพวกเขาเป็นมุมฉากถ้า cos = 0 ซึ่งหมายความว่าNN¹ = AA¹ + VV¹SS¹ + = 0
สมการของเครื่องบินแบบคู่ขนาน
มันจะเรียกว่าสองระนาบขนานที่มีไม่มีจุดในการร่วมกัน
สภาพ ของเครื่องบินแบบขนาน (สมการของพวกเขาเป็นเช่นเดียวกับในวรรคก่อนหน้านี้) คือเวกเตอร์ n และN¹ซึ่งจะตั้งฉากกับพวกเขา collinear ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขต่อไปนี้จะได้พบกับสัดส่วน:
A / เน = B / C = H¹ / S¹
หากข้อตกลงสัดส่วนจะถูกขยาย - A / เน = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,
นี้แสดงให้เห็นว่าเครื่องบินของข้อมูลเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าสมขวาน + โดย + Cz + D = 0 และ + A¹hV¹uS¹z + D¹ = 0 อธิบายเครื่องบิน
ระยะห่างจากจุดที่เครื่องบิน
สมมติว่าเรามีเครื่องบิน P ซึ่งจะได้รับโดย (0) มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ คุณจำเป็นต้องนำสมการในลักษณะปกติเครื่องบินครั้งที่สองที่จะทำให้มัน:
(Ρโวลต์) = P (r≥0)
ในกรณีนี้ρ (x, y, z) เป็นเวกเตอร์รัศมีของจุดของเรา Q ตั้งอยู่บน n พี - n คือความยาวของแนวตั้งฉากซึ่งถูกปล่อยออกจากจุดศูนย์วี - เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งมีการจัดเรียงในทิศทางที่
ความแตกต่างρ-ρºเวกเตอร์รัศมีของจุด Q = (x, y, z) ที่อยู่ n และเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนด Q = 0 (hₒ, uₒ, zₒ) เป็นเวกเตอร์ค่าสัมบูรณ์ของประมาณการของที่เกี่ยวกับ วีเท่ากับ d ระยะทางซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นที่จะหาจาก Q = 0 (hₒ, uₒ, zₒ) เพื่อ P:
D = | (ρρ-0, V) | แต่
(ρρ-0, V) = (ρวี ) - (ρ 0, V) = P (ρ 0, V)
ดังนั้นมันจะเปิดออก
d = | (ρ 0, V) พี |
ตอนนี้ก็เป็นที่ชัดเจนว่าในการคำนวณระยะทาง d จาก 0 ถึง Q เครื่องบิน P มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะใช้สมการมุมมองเครื่องบินปกติการเปลี่ยนแปลงทางด้านซ้ายของหน้าและสถานที่สุดท้ายของ x, y, z แทน (hₒ, uₒ, zₒ)
ดังนั้นเราจึงหาค่าที่แน่นอนของการแสดงออกที่เกิดขึ้นที่จะต้อง d
การใช้พารามิเตอร์ของภาษาที่เราได้รับที่เห็นได้ชัด:
d = | AhₒVuₒ + Czₒ | / √ (รฒร + + V²s²)
หากระบุจุด Q 0 อยู่ในด้านอื่น ๆ ของเครื่องบิน P เป็นที่มาแล้วระหว่างเวกเตอร์ρρ-0 และโวลต์เป็น มุมป้าน, ดังนี้:
d = - (ρρ-0, V) = (ρ 0, V) -p> 0
ในกรณีที่จุด Q 0 ร่วมกับแหล่งกำเนิดอยู่ในด้านเดียวกันของ U, มุมแหลมที่จะถูกสร้างขึ้นที่:
d = (ρρ-0, V) = P - (ρ 0, V)> 0
ผลที่ตามมาก็คือว่าในกรณีอดีต (ρ 0, V)> หน้าในสอง (ρ 0, V)
และสมการระนาบสัมผัสมัน
เกี่ยวกับเครื่องบินไปยังพื้นผิวที่จุดของวงMº - การเครื่องบินที่มีการสัมผัสกันไปได้ทั้งหมดเพื่อโค้งลากผ่านจุดบนพื้นผิวที่
ด้วยรูปแบบพื้นผิวนี้ของสมการ F (x, y, z) = 0 ในสมการของMºจุดเครื่องบินสัมผัสสัมผัส (hº, uº, zº) จะเป็น:
F x (hº, uº, zº) (hº x) + F x (hº, uº, zº) (uº y) + F x (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0
หากพื้นผิวที่กำหนดอย่างชัดเจน Z = f (x, y) จากนั้นเครื่องบินสัมผัสกันอธิบายโดยสมการ:
Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº)
จุดตัดของสองระนาบ
ใน พื้นที่สามมิติ เป็นระบบพิกัด (สี่เหลี่ยม) Oxyz ให้เครื่องบินสองลำ P และ P 'ที่ทับซ้อนและไม่ตรง ตั้งแต่เครื่องบินใด ๆ ซึ่งอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าระบบพิกัดที่กำหนดโดยสมการทั่วไปเราสมมติว่า n และ n "จะถูกกำหนดโดยสมการ X '+ V'u S'z + D' = 0 และ A" + B x + y ที่ ด้วย "Z + D" = 0 ในกรณีนี้เรามีปกติ n '(A' B 'C') ของเครื่องบิน P 'n และปกติ '(A' B 'C') ของเครื่องบิน P' ในฐานะที่เป็นเครื่องบินของเราจะไม่ขนานและไม่ตรงแล้วเวกเตอร์เหล่านี้จะไม่ collinear โดยใช้ภาษาของคณิตศาสตร์ที่เราได้เงื่อนไขนี้สามารถเขียนเป็น: n '≠ n "↔ (A' B 'C') ≠ (λ * และ" λ * ใน "λ * C") λεR ให้เส้นตรงซึ่งตั้งอยู่ที่สี่แยก P และ P" จะถูกแทนด้วยตัวอักษรในกรณีนี้ = P '∩ P"
และ - บรรทัดประกอบด้วยส่วนใหญ่ของจุด (ธรรมดา) เครื่องบิน P และ P" ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใด ๆ ที่อยู่ในบรรทัดพร้อมกันจะต้องพอใจสม X '+ V'u S'z + D' = 0 และ A "x + B + C Y" Z + D "= 0 ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดที่จะมีการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งของสมการต่อไปนี้:
ผลที่ได้คือการแก้ปัญหา (รวมทั้งหมด) ของระบบสมการนี้จะเป็นตัวกำหนดพิกัดของแต่ละจุดบนเส้นซึ่งจะทำหน้าที่เป็นจุดตัด P และ P" และกำหนดเส้นในระบบพิกัด Oxyz (สี่เหลี่ยม) พื้นที่
Similar articles
Trending Now