ลูกตุ้ม: ระยะเวลาและอัตราเร่งของสูตร

ระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุ (ร่างกาย) ซึ่งแขวนอยู่บนเส้นใย inextensible น้ำหนัก (มวลของมันเป็นเล็กน้อยเมื่อเทียบกับน้ำหนักของร่างกาย) ในสนามแรงโน้มถ่วงที่เรียกว่าลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (ชื่ออื่น - oscillator) ที่ มีชนิดอื่น ๆ ของอุปกรณ์ แทนที่จะใยแท่งน้ำหนักสามารถนำมาใช้ ลูกตุ้มอย่างชัดเจนสามารถที่จะเปิดเผยสาระสำคัญของปรากฏการณ์ที่น่าสนใจอีกมากมาย เมื่อการสั่นสะเทือนความกว้างขนาดเล็กของการเคลื่อนไหวของมันจะถูกเรียกว่าฮาร์โมนิ

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับระบบกลไก

สูตรของรอบระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มเป็นมารยาท Huygens นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ (1629-1695 GG.) นี้ร่วมสมัยของไอแซกนิวตันเป็นรักมากของระบบทางกล ใน 1656 เขาสร้างนาฬิกาครั้งแรกกับกลไกลูกตุ้ม พวกเขาวัดเวลาที่มีความแม่นยำมากสำหรับบรรดาครั้ง สิ่งประดิษฐ์นี้เป็นขั้นตอนสำคัญในการพัฒนาของการทดลองทางกายภาพและกิจกรรมการปฏิบัติ

ถ้าลูกตุ้มอยู่ในตำแหน่งที่สมดุล (แขวนแนวตั้ง) ที่ แรงโน้มถ่วง จะต้องมีความสมดุลโดยการบังคับความตึงเครียดเส้นด้าย ลูกตุ้มแบนบนเส้นด้ายที่ไม่ยืดหยุ่นเป็นระบบที่มีสององศาของเสรีภาพในการสื่อสาร เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเพียงองค์ประกอบหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงลักษณะของทุกส่วนของตน ตัวอย่างเช่นถ้าด้ายจะถูกแทนที่ด้วยก้านแล้วระบบกลไกนี้เป็นเพียง 1 องศาของเสรีภาพ อะไรแล้วคุณสมบัติของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์? ในระบบที่ง่ายนี้ภายใต้อิทธิพลของการก่อกวนธาตุวุ่นวายปรากฏขึ้น ในกรณีที่เมื่อจุดระงับไม่ได้เคลื่อนย้ายและแกว่งลูกตุ้มมีตำแหน่งสมดุลใหม่ หากความผันผวนอย่างรวดเร็วขึ้นและลงระบบกลไกนี้จะกลายเป็นตำแหน่งที่มีเสถียรภาพ "คว่ำ". นอกจากนี้ยังมีชื่อของมัน มันถูกเรียกว่าลูกตุ้ม Kapitza

คุณสมบัติของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก ทั้งหมดของพวกเขาได้รับการสนับสนุนโดยกฎหมายทางกายภาพที่รู้จักกันดี ระยะเวลาของการสั่นของลูกตุ้มอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่างๆเช่นขนาดและรูปร่างของร่างกายที่ระยะห่างระหว่างจุดของการระงับและศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงที่การกระจายน้ำหนักที่เกี่ยวกับประเด็นนี้ นั่นคือเหตุผลที่ความหมายของระยะเวลาที่แขวนร่างกายค่อนข้างท้าทาย เป็นเรื่องง่ายในการคำนวณระยะเวลาของลูกตุ้มที่เรียบง่าย, สูตรที่ได้รับด้านล่าง อันเป็นผลมาจากการสังเกตรูปแบบเหล่านี้สามารถตั้งค่าในระบบทางกลที่คล้ายกัน:

•หากในขณะที่รักษาระยะเวลาเดียวกันของลูกตุ้มห้อยลงมาจากความหลากหลายของการโหลดระยะเวลาของการสั่นได้รับเดียวกันแม้ว่าน้ำหนักของพวกเขาจะแตกต่างกันมาก ดังนั้นระยะเวลาของลูกตุ้มไม่ได้ขึ้นอยู่กับน้ำหนักของโหลด

•หากระบบเริ่มลดลงในลูกตุ้มไม่ใหญ่เกินไป แต่มุมที่แตกต่างกันก็จะมีความผันผวนกับช่วงเวลาเดียวกัน แต่ในช่วงกว้างของคลื่นที่แตกต่างกัน ในขณะที่เบี่ยงเบนไปจากศูนย์กลางของความสมดุลที่ไม่ผันผวนมากเกินไปในรูปแบบของพวกเขาจะได้อยู่ใกล้ชิดฮาร์โมนิเพียงพอ ช่วงเวลาดังกล่าวลูกตุ้มไม่ได้ขึ้นอยู่กับความกว้างสั่น คุณสมบัติของระบบกลไกนี้จะเรียกว่า isochronism (ในภาษากรีก "โครโนส" - เวลา "Izosov" - เท่ากัน)

ระยะเวลาของลูกตุ้มง่าย

ตัวเลขนี้หมายถึงระยะเวลาที่ธรรมชาติของการสั่น แม้จะมีการกำหนดที่ซับซ้อนกระบวนการของตัวเองเป็นเรื่องง่ายมาก ถ้าความยาวของเส้นด้ายคณิตศาสตร์ลูกตุ้ม L และเร่งกรัมแรงโน้มถ่วงค่านี้เท่ากับ:

T = 2π√L / g

ช่วงเวลาเล็ก ๆ ของการแกว่งตามธรรมชาติในทางไม่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้มและความกว้างของการสั่น ในกรณีนี้เป็นลูกตุ้มคณิตศาสตร์เคลื่อนที่ไปพร้อมกับความยาวลดลง

การแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มแกว่งคณิตศาสตร์ซึ่งสามารถอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ง่าย:

x + ω2บาป x = 0

ที่ x (t) - ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก (มุมของการเบี่ยงเบนจากตำแหน่งที่ต่ำกว่าของสมดุลที่เวลา t นี้แสดงในเรเดียน); ω - คงเป็นบวกซึ่งจะถูกกำหนดจากค่าพารามิเตอร์ของลูกตุ้ม (ω = √g / L ที่กรัม - เร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วงและ L - ความยาวของลูกตุ้มง่าย (ระงับ)

สมการสั่นเล็ก ๆ ใกล้กับตำแหน่งสมดุล (สมฮาร์โมนิ) เป็นดังนี้:

x + ω2บาป x = 0

การเคลื่อนไหวแกว่งของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มซึ่งทำให้แนบแน่นขนาดเล็กเคลื่อนย้าย sinusoid สมการเพื่อค่าที่สองตรงตามความต้องการทั้งหมดและพารามิเตอร์ของการเคลื่อนไหวดังกล่าว เพื่อตรวจสอบเส้นทางที่คุณจำเป็นต้องตั้งค่าความเร็วและพิกัดซึ่งต่อมาได้กำหนดค่าคงที่อิสระ

x = บาป (θ ₀ + ωt)

ที่θ ₀ - ระยะแรก, A - กว้างของการสั่น, ω - ความถี่วงจรคำนวณจากสมการของการเคลื่อนไหว

ลูกตุ้ม (สูตรสำหรับช่วงกว้างของคลื่นขนาดใหญ่)

ระบบกลไกนี้ดำเนินการแกว่งของพวกเขาด้วยความกว้างขนาดใหญ่ก็จะเป็นไปตามกฎจราจรที่ซับซ้อนมากขึ้น พวกเขาจะคำนวณตามสูตรดังกล่าวลูกตุ้ม:

บาป x / 2 = U * SN (ωt / u)

ที่ SN - ไซน์ Jacobi ที่สำหรับยู <1 เป็นฟังก์ชั่นเป็นระยะ ๆ และสำหรับ U ขนาดเล็กก็เกิดขึ้นพร้อมกับไซน์ตรีโกณมิติง่าย ค่าของยูจะถูกกำหนดโดยการแสดงออกต่อไปนี้:

U = (ε + ω2) / 2ω2,

ที่ε = E / ML2 (ML2 - การใช้พลังงานของลูกตุ้ม)

การกำหนดระยะเวลาการสั่นไม่เชิงเส้นของลูกตุ้มจากสูตรดังต่อไปนี้:

T = 2π / Ω,

ที่Ω = π / 2 * ω / 2K (U), K - รูปไข่หนึ่ง, π - 3,14

การเคลื่อนไหวของลูกตุ้ม separatrix

มันเรียกว่าวิถี separatrix ของระบบแบบไดนามิกซึ่งในพื้นที่เฟสสองมิติ ลูกตุ้มย้ายไม่ใช่เป็นระยะ ๆ ในจุดที่ห่างไกลอนันต์ของเวลาที่ลดลงจากตำแหน่งบนมากต่อความเร็วศูนย์และแล้วมันจะค่อยๆดึงดูด ในที่สุดเขาก็หยุดกลับไปยังตำแหน่งเดิม

ถ้ากว้างของการสั่นของลูกตุ้มวิธีปี่จำนวนมันก็บอกว่าการเคลื่อนไหวในระนาบเฟสอยู่ใกล้กับ separatrix ในกรณีนี้ภายใต้การกระทำของแรงผลักดันขนาดเล็กเป็นระยะ ๆ ของระบบกลแสดงพฤติกรรมวุ่นวาย

ในกรณีที่มีลูกตุ้มอย่างง่ายจากตำแหน่งสมดุลกับ CP มุมที่เกิดขึ้นมีผลบังคับใช้วงFτ = บาป -mg φแรงโน้มถ่วง "ลบ" สัญญาณหมายความว่าองค์ประกอบวงกำกับในทิศทางตรงกันข้ามจากทิศทางของการเบี่ยงเบนของลูกตุ้ม เมื่อกล่าวผ่านลูกตุ้มกระจัด x พร้อมโค้งวงกลมที่มีรัศมี L เท่ากับกระจัดเชิงมุมφ = x / ลิตร กฎข้อที่สอง Isaaka Nyutona, การออกแบบสำหรับการฉายของเวกเตอร์เร่งความเร็วและความแข็งแรงให้ค่าที่ต้องการ:

มิลลิกรัมτ = = Fτ -mg บาป x / L

ตามสัดส่วนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าลูกตุ้มเป็นระบบไม่เชิงเส้นเป็นแรงที่มีแนวโน้มที่จะกลับไปยังตำแหน่งสมดุลของมันไม่เคยสัดส่วนกับ x รางบาป x / ลิตร

เฉพาะเมื่อลูกตุ้มคณิตศาสตร์ดำเนินการสั่นสะเทือนขนาดเล็กก็คือการประสานมือ ในคำอื่น ๆ มันจะกลายเป็นระบบกลไกที่มีความสามารถในการดำเนินการประสานแนบแน่น ประมาณนี้ใช้ได้เกือบมุม 15-20 องศา ลูกตุ้มกับช่วงกว้างของคลื่นขนาดใหญ่ไม่ได้มีความสามัคคี

กฎหมายของนิวตันสำหรับการสั่นเล็ก ๆ ของลูกตุ้ม

หากระบบกลไกดำเนินแนบแน่นขนาดเล็กกฎหมายที่ 2 ของนิวตันจะมีลักษณะเช่นนี้

มิลลิกรัมτ = = Fτ -m * กรัม / ลิตร * x

บนพื้นฐานนี้เราสามารถสรุปได้ว่าการเร่งความเร็วของวงลูกตุ้มที่เรียบง่ายเป็นสัดส่วนการแทนที่ด้วยเครื่องหมาย "ลบ" นี่คือสภาพโดยระบบจะกลายเป็นประสานมือ ปัจจัยสัดส่วนโมดูลระหว่างการเคลื่อนที่และการเร่งความเร็วเท่ากับตารางความถี่เชิงมุม:

ω02 = กรัม / ลิตร; ω0 = √กรัม / ลิตร

สูตรนี้สะท้อนให้เห็นถึงความถี่ธรรมชาติของการสั่นเล็ก ๆ ของประเภทของลูกตุ้มนี้ บนพื้นฐานนี้

T = 2π / ω0 = 2π√กรัม / ลิตร

การคำนวณขึ้นอยู่กับกฎหมายของการอนุรักษ์พลังงาน

คุณสมบัติการเคลื่อนไหวสั่นลูกตุ้มสามารถอธิบายได้ด้วยความช่วยเหลือของกฎหมายของการอนุรักษ์พลังงาน มันควรจะเป็นพาหะในใจว่า ศักยภาพพลังงานของ ลูกตุ้มในสนามแรงโน้มถ่วงเป็น:

E = = mgΔh MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

เต็ม พลังงานกล เท่ากับที่อาจเกิดขึ้นกับการเคลื่อนไหวและสูงสุด: Epmax = Ekmsx = E

หลังจากที่คุณได้เขียนกฎหมายของการอนุรักษ์พลังงาน, การอนุพันธ์ของด้านซ้ายและขวาของสมการ:

Ep + Ek = const

ตั้งแต่ที่มาของค่าคงที่เท่ากับ 0 แล้ว (EP + เอก) '= 0 อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่:

Ep '= (มิลลิกรัม / ลิตร * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= มิลลิกรัม / ลิตร * V + เอก' = (MV2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2V * วี '= mv * α,

จึง:

มิลลิกรัม / ลิตร * XV + MVA v = (มิลลิกรัม / ลิตร * x + M แอลฟา) = 0

ขึ้นอยู่กับสูตรที่ผ่านมาเราพบ: α = - กรัม / ลิตร * x

โปรแกรมการปฏิบัติของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

การเร่งความเร็ว ของฤดูใบไม้ร่วงฟรี แตกต่างกันกับรุ้งเพราะความหนาแน่นของเปลือกโลกทั่วโลกที่ไม่เหมือนกัน ที่ไหนหินเกิดขึ้นกับความหนาแน่นสูงก็จะสูงขึ้นเล็กน้อย การเร่งความเร็วของลูกตุ้มคณิตศาสตร์มักจะใช้สำหรับการตรวจสอบข้อเท็จจริง ในรูปลักษณ์ความช่วยเหลือของแร่ธาตุที่แตกต่างกัน เพียงแค่นับจำนวนของการแกว่งของลูกตุ้มก็เป็นไปได้ในการตรวจสอบหรือถ่านหินแร่ในท้องของโลก เพราะนี่คือความจริงที่ว่าทรัพยากรเหล่านี้มีความหนาแน่นและน้ำหนักมากกว่านอนอยู่ใต้โขดหินหลวม

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่ใช้โดยนักวิชาการที่โดดเด่นเช่นโสกราตีสอริสโตเติลเพลโตสตาร์ค Archimedes หลายคนเชื่อว่าระบบกลไกอาจมีอิทธิพลต่อชะตากรรมและชีวิต Archimedes ใช้ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์กับการคำนวณของเขา ปัจจุบัน occultists จำนวนมากและ psychics ใช้ระบบกลไกนี้สำหรับการดำเนินงานของคำทำนายของตนหรือการค้นหาสำหรับคนที่หายไป

นักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียงและนักวิทยาศาสตร์ Flammarion สำหรับการวิจัยของพวกเขายังใช้ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ เขาอ้างว่าด้วยความช่วยเหลือของเขาเขาก็สามารถที่จะคาดการณ์การค้นพบดาวเคราะห์ดวงใหม่เกิดขึ้นของอุกกาบาต Tunguska และเหตุการณ์สำคัญอื่น ๆ ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สองในประเทศเยอรมนี (เบอร์ลิน) ทำงานเป็นสถาบันเฉพาะของลูกตุ้ม ปัจจุบันการวิจัยดังกล่าวจะไม่สามารถใช้ได้มิวนิคสถาบันจิตศาสตร์ ผลงานของเขากับลูกตุ้มเจ้าหน้าที่ของสถาบันการศึกษานี้ที่เรียกว่า "radiesteziey"