ความเสมอภาคคืออะไร? เครื่องหมายแรกและหลักการความเสมอภาค

"ความเสมอภาค" เป็นหัวข้อที่นักเรียนยังคงอยู่ในโรงเรียนประถมศึกษา เธอยังมาพร้อมกับ "ความไม่เสมอภาค" ด้วย ทั้งสองแนวคิดมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด นอกจากนี้พวกเขาจะเชื่อมโยงกับคำดังกล่าวเป็นสมการอัตลักษณ์ ดังนั้นความเท่าเทียมกันคืออะไร?

ความเท่าเทียมกัน

คำนี้หมายถึงคำในบันทึกที่มีเครื่องหมาย "=" ความเท่าเทียมกันแบ่งออกเป็นความสัตย์ซื่อและไม่ซื่อสัตย์ ถ้าในรายการแทน = คือ <,> เรากำลังพูดถึงความไม่เสมอภาค โดยวิธีการที่สัญญาณแรกของความเสมอภาคหมายความว่าทั้งสองส่วนของนิพจน์จะเหมือนกันในผลหรือบันทึกของพวกเขา

นอกเหนือจากความเท่าเทียมกันแล้วโรงเรียนยังศึกษาหัวข้อ "ความเสมอภาคเชิงตัวเลข" โดยคำสั่งนี้เราหมายถึงสองการแสดงออกเชิงตัวเลขที่ยืนอยู่บนทั้งสองด้านของเครื่องหมาย = ตัวอย่างเช่น 2 * 5 + 7 = 17 ทั้งสองส่วนของระเบียนมีค่าเท่ากัน

ในนิพจน์ตัวเลขของประเภทนี้วงเล็บที่มีผลต่อลำดับการทำงานสามารถใช้งานได้ ดังนั้นจึงมี 4 กฎซึ่งควรนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณผลลัพธ์ของนิพจน์เชิงตัวเลข

1. หากไม่มีวงเล็บในบันทึกการดำเนินการจะกระทำจากขั้นตอนสูงสุด: III → II → I. หากมีการดำเนินการหลายประเภทหนึ่งรายการจะมีการดำเนินการจากซ้ายไปขวา
2. หากมีวงเล็บในบันทึกการดำเนินการจะดำเนินการในวงเล็บและคำนึงถึงขั้นตอนต่างๆ บางทีอาจมีการกระทำหลายอย่างในวงเล็บ
3. ถ้านิพจน์ถูกแทนด้วยเศษแล้วจะต้องคำนวณตัวนับก่อนแล้วส่วนตัวหารจะหารด้วยตัวหาร
4. หากมีวงเล็บที่ซ้อนอยู่ในเร็กคอร์ดแสดงว่านิพจน์ในวงเล็บถูกประเมินก่อน

ดังนั้นตอนนี้ก็เป็นที่ชัดเจนคือความเท่าเทียมกันคืออะไร ในอนาคตจะพิจารณาแนวคิดเกี่ยวกับสมการอัตลักษณ์และวิธีการคำนวณ

สมบัติเชิงตัวเลข

ความเสมอภาคคืออะไร? การศึกษาแนวคิดนี้ต้องการความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวตนที่เป็นตัวเลข สูตรข้อความต่อไปนี้ช่วยให้คุณสามารถศึกษาหัวข้อนี้ได้ดียิ่งขึ้น แน่นอนคุณสมบัติเหล่านี้เหมาะสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับชั้นสูง

1. ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขจะไม่ถูกละเมิดหากทั้งสองส่วนมีหมายเลขเดียวกันและเพิ่มลงในนิพจน์ที่มีอยู่

A = B ↔ A + 5 = B + 5

2. สมการจะไม่ถูกละเมิดถ้าทั้งสองส่วนถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนหรือนิพจน์เดียวกันซึ่งแตกต่างจากศูนย์

P = O ↔ P ∙ 5 = O ∙ 5

P = O ↔ P: 5 = O: 5

3. การเพิ่มฟังก์ชันเดียวกันกับทั้งสองส่วนของข้อมูลประจำตัวซึ่งเหมาะสมสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรเราจะได้รับความเสมอภาคใหม่เทียบเท่ากับต้นฉบับ

F (X) = Ψ (X) ↔ F (X) + R (X) = Ψ (X) + R (X)

4. คำหรือนิพจน์ใด ๆ สามารถถ่ายโอนในอีกด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับได้ขณะที่เปลี่ยนสัญญาณไปทางตรงกันข้าม

X + 5 = Y - 20 ↔ X = Y - 20 - 5 ↔ X = Y - 25

5. คูณหรือหารทั้งสองด้านของสมการให้เป็นฟังก์ชันเดียวกันซึ่งแตกต่างจากศูนย์และมีความหมายสำหรับแต่ละค่าของ X จาก ODZ เราจะได้สมการใหม่เท่ากับค่าเดิม

F ( X) = Ψ ( X) ↔ F ( X) ∙ R ( X) = Ψ ( X) ∙ R ( X)

F (X) = Ψ (X) ↔ F (X): G (X) = Ψ (X): G (X)

กฎเหล่านี้ชี้ชัดถึงหลักการของความเสมอภาคซึ่งมีอยู่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ

แนวคิดเรื่องสัดส่วน

ในวิชาคณิตศาสตร์มีความเท่าเทียมกันในเรื่องของความสัมพันธ์ ในกรณีนี้ความหมายของสัดส่วนหมายถึง ถ้าคุณแบ่ง A โดย B ผลลัพธ์คืออัตราส่วนของจำนวน A กับจำนวน B สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ที่สอง:

บางครั้งสัดส่วนดังกล่าวมีดังต่อไปนี้: A: B = C: D ซึ่งหมายถึงสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน A * D = D * C โดยที่ A และ D เป็นค่าสัมบูรณ์ของสัดส่วนและ B และ C เป็นค่าเฉลี่ย

อัตลักษณ์

เอกลักษณ์คือความเสมอภาคที่จะเป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปรเหล่านั้นที่เข้าสู่งาน อัตลักษณ์สามารถแทนได้ด้วยตัวอักษรหรือตัวเลขเท่ากัน

เท่าเทียมกันคือการแสดงออกที่มีอยู่ในทั้งสองส่วนของสมการตัวแปรที่ไม่รู้จักที่สามารถถือเอาสองส่วนของเดียวกันทั้งหมด

ถ้าเราแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยนิพจน์หนึ่งซึ่งจะเท่ากับข้อความนั้นเรากำลังพูดถึงการเปลี่ยนแปลงข้อมูลประจำตัว ในกรณีนี้เราสามารถใช้สูตรการลดคูณกฎของเลขคณิตและข้อมูลประจำตัวอื่น ๆ

เพื่อลดเศษจะต้องทำการแปลงเหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่นเศษส่วนจะได้รับ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เราควรใช้สูตรการคูณแบบย่อการแบ่งแยกการทำให้ง่ายขึ้นในการนิพจน์และการลดเศษส่วน

ควรคำนึงถึงว่าการแสดงออกนี้จะเหมือนกันเมื่อตัวหารไม่เท่ากับ 3

5 วิธีในการพิสูจน์ตัวตน

ในการพิสูจน์ตัวตนเหมือนกันเราจำเป็นต้องแปลงนิพจน์

ฉัน

จำเป็นต้องดำเนินการแปลงที่เท่ากันทางซ้ายมือ ผลที่ได้คือด้านขวาและเราสามารถบอกได้ว่าพิสูจน์ตัวตนแล้ว

II วิธี

การกระทำทั้งหมดสำหรับการแปลงนิพจน์เกิดขึ้นทางด้านขวา ผลของการจัดการคือด้านซ้าย ถ้าทั้งสองส่วนเหมือนกันพิสูจน์ตัวตน

วิธีที่ 3

"การแปลง" เกิดขึ้นในทั้งสองส่วนของนิพจน์ ถ้าผลลัพธ์เป็นสองส่วนเหมือนกันพิสูจน์ตัวตน

IV วิธีการ

ด้านขวาจะถูกลบออกจากด้านซ้าย ผลจากการแปลงที่เท่ากันผลลัพธ์ควรเป็นศูนย์ จากนั้นเราสามารถพูดถึงเอกลักษณ์ของการแสดงออก

V วิธี

ด้านซ้ายถูกลบออกจากด้านขวา การแปลงทั้งหมดที่เทียบเท่าจะลดลงเป็นศูนย์ในคำตอบ เฉพาะเมื่อเราสามารถพูดถึงอัตลักษณ์ของความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของตัวตน

ในคณิตศาสตร์สมบัติความเสมอภาคมักถูกใช้เพื่อเร่งกระบวนการคำนวณ ด้วยตัวตนพื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิตขั้นตอนการคำนวณนิพจน์บางคำจะใช้เวลาเพียงไม่กี่นาทีแทนที่จะเป็นเวลานาน

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) = X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y-C) = X + Y-C
• X - (Y + C) = X - Y - C
• X - (Y - C) = X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1 / X = 1, โดยที่ X ≠ 0

สูตรการคูณแบบย่อ

ในสาระสำคัญสูตรการลดคูณคือความเสมอภาค พวกเขาช่วยแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์เนื่องจากความเรียบง่ายและง่ายต่อการจัดการ

• (A + B) ² = A ² + 2 ∙ A ∙ B + B ² - สแควร์ของผลรวมของคู่ของตัวเลข;

• (A - B) ² = A ² - 2 ∙ A ∙ B + B ² - สแควร์ของความแตกต่างของคู่ของตัวเลข;

• (С + В) ∙ (С - В) = С ² - ² - ความแตกต่างของสี่เหลี่ยม;

• (A + B) ³ = A ³ + 3 ∙ A ² ∙ B + 3 ∙ A ∙ B ² + B ³ - ก้อนของผลรวม;

• (A - B) ³ = A ³ - 3 ∙ A ² ∙ B + 3 ∙ A ∙ B ² - B ³ - ก้อนของความแตกต่าง;

• (Р +) ∙ ( ² - ∙ + ² ) = Р ³ + ³ - ผลรวมของก้อน;

• (Р) ∙ ( ² + ∙ + ² ) = Р ³ - ³ - ความแตกต่างของก้อน

สูตรของการคูณแบบย่อมักใช้ถ้าจำเป็นต้องนำพหุนามไปเป็นรูปแบบปกติทำให้ง่ายขึ้นในทุกวิถีทาง สูตรที่นำเสนอได้รับการพิสูจน์โดยง่าย: เพียงพอที่จะเปิดเผยวงเล็บและให้เงื่อนไขดังกล่าว

สมการ

หลังจากศึกษาคำถามความเท่าเทียมกันเราสามารถดำเนินการต่อไปได้ที่จุดถัดไป: สมการคืออะไร สมการคือความเท่าเทียมกันซึ่งมีปริมาณที่ไม่ทราบ การแก้สมการคือการหาค่าทั้งหมดของตัวแปรตามที่ทั้งสองส่วนของการแสดงออกทั้งหมดจะเท่ากัน นอกจากนี้ยังมีงานที่หาคำตอบของสมการไม่ได้ ในกรณีนี้พวกเขากล่าวว่าไม่มีราก

ตามกฎแล้ว equality กับ unknowns จะให้ integers เป็น solution อย่างไรก็ตามมีกรณีที่รากเป็นเวกเตอร์ฟังก์ชันและออบเจ็กต์อื่น ๆ

สมการเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และทางปฏิบัติส่วนใหญ่ไม่สามารถวัดหรือคำนวณค่าใด ๆ ได้ ดังนั้นจึงจำเป็นที่จะต้องสร้างอัตราส่วนที่จะตอบสนองทุกสภาวะของงาน ในกระบวนการของการเขียนความสัมพันธ์ดังกล่าวสมการหรือระบบของสมการจะปรากฏขึ้น

มักจะแก้ปัญหาความเท่าเทียมกันกับที่ไม่รู้จักจะลดลงในการแปลงสมการที่ซับซ้อนและจดบันทึกเป็นรูปแบบง่ายๆ ต้องจำไว้ว่าต้องมีการแปลงค่าทั้งสองส่วนมิฉะนั้นผลลัพธ์จะได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง

4 วิธีในการแก้สมการ

โดยการแก้สมการที่เราหมายถึงการเปลี่ยนความเท่าเทียมกันที่ให้มาโดยหนึ่งซึ่งเทียบเท่ากับครั้งแรก การทดแทนดังกล่าวเรียกว่าการแปลงข้อมูลประจำตัว ในการแก้สมการคุณต้องใช้วิธีการใดวิธีการหนึ่ง

1. นิพจน์หนึ่งจะถูกแทนที่ด้วยคำอื่นซึ่งจำเป็นจะต้องเหมือนกับคำแรก ตัวอย่าง: (3 ∙ x + 3) ² = 15 ∙ x + 10 นิพจน์นี้สามารถแปลงเป็น 9 ∙ x ² + 18 ∙ x + 9 = 15 ∙ x + 10

2. ดำเนินการให้สมาชิกมีความเสมอภาคกับสิ่งที่ไม่รู้จักจากอีกด้านหนึ่ง ในกรณีนี้คุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอย่างถูกต้อง ข้อผิดพลาดเล็กน้อยจะทำลายงานทั้งหมดที่ทำ ตัวอย่างเช่นใช้ "ตัวอย่าง" ก่อนหน้า

9 ∙х ² + 12 ∙х + 4 = 15 ∙х + 10

9 ∙х ² + 12 ∙х + 4 - 15 ∙х - 10 = 0

9 ∙ x ² - 3 ∙ x - 6 = 0

นอกจากนี้สมการจะได้รับการแก้ไขโดยใช้ตัวจำแนก

3. การคูณทั้งสองส่วนของความเสมอภาคด้วยจำนวนที่เท่ากันหรือนิพจน์ที่ไม่เท่ากันกับ 0 อย่างไรก็ตามควรระลึกว่าถ้าสมการใหม่ไม่เท่ากับสมการก่อนการแปรรูปจำนวนรากจะเปลี่ยนไปอย่างมาก

4. สมการทั้งสองส่วนของสมการ วิธีนี้เป็นที่ยอดเยี่ยมเพียงอย่างเดียวโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการแสดงออกที่ไม่ลงตัวในสมการนั่นคือ รากที่สอง และการแสดงออกภายใต้มัน มีความแตกต่างกันนิดหน่อย: ถ้าคุณยกสมการให้เท่ากันองศาอาจมีรากภายนอกที่จะบิดเบือนสาระสำคัญของงาน ถ้าไม่ถูกต้องในการสกัดรากความหมายของคำถามในปัญหาจะไม่ชัดเจน ตัวอย่าง: │7∙x│ = 35 → 1) 7 ∙ x = 35 และ 2) - 7 ∙ x = 35 →สมการจะได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

ดังนั้นบทความนี้กล่าวถึงคำต่างๆเช่นสมการและอัตลักษณ์ พวกเขาทั้งหมดมาจากแนวคิดเรื่อง "ความเสมอภาค" ด้วยรูปแบบการแสดงออกที่เทียบเท่ากันหลายรูปแบบการแก้ปัญหาบางอย่างได้รับการอำนวยความสะดวกอย่างมาก